コンプガチャの恐ろしさを身をもって実感する

氷菓という作品(小説・アニメ)が好きすぎて、氷菓ウエハースを購買で毎日４個づつ買い続け、更には箱買いするなどの暴挙に出ていたら、とうとうカードをコンプリートしてしまった。

気がついたらそこそこの金額をつぎ込んでいたのだけど、いい機会なので1,2年生の頃にやった確率統計の授業を思い出しながら全カードコンプまでの期待値を考えてみた。

何回買えばコンプできるか

条件

全n種類のカードが存在する
全カードの出現確率は等確率であるとする

下準備的なやつ

いま i-1 種類のカードを持っているとき、

まだ持ってないカードが当たる確率を p_i
まだ持っていないカードが当たるまで買う回数を X_i

とする。

このとき、m回買ったときに持ってないカードが当たる確率は

$P(X_i=m)=(1-p_i)^{m-1}p_i$

と表すことができ、X_iが任意のiで幾何分布に従うことがわかる。

このとき、p_iは

$p_i=1-\frac{i-1}{n}=\frac{n-i+1}{n}$

と表せる。

また、X_iは幾何分布に従うので、その期待値は

$E[X_i]=\frac{1}{p_i}=\frac{n}{n-i+1}$

となる。

期待値を求める

全種コンプするのに必要な購入回数 X の期待値 E[X] を求めたい。

まず、

$X=\sum_{i=1}^{n} X_i$

であるから、期待値の線形性より

$E[X]=\sum_{i=1}^{n} E[X_i]=\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n-i+1}=n\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$

ここで、 $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$ は調和数(H_n)と呼ばれる。これを用いると、

$E[X]=n\cdot H_n$

となる。

結論

全n種のカードをコンプするのに必要な購入回数は

$n\cdot H_n$ 回

氷菓ウエハースの場合

全24種類でひとつ105円なので、全種コンプするのに必要な金額の期待値は上記の式を利用すると

$24\cdot H_{24}\times 105\approx9515$

9,515円!!!

た、高ぇ！！

今回、全種コンプするのにそこそこつぎ込んだと思ってたけど、そこまではいかなかった。どうやら運が良かったほうらしい・・・。

「最短で 24(種類) × 105(円) = 2,520(円) でコンプできる」 っていうのが如何に罠かわかるよね。

恐ろしや。

等確率なだけマシ

氷菓ウエハースなんてまだ優しい方。買ってみた感じ、全カードの出現確率が一定っぽかったから。

これがもしレアカードの出現確率が極端に低く設定されてるコンプガチャとかだったらもうね、いくらつぎ込んだらいいかって考えただけでもおぞましいよね((((；ﾟДﾟ))))

それでも好きな事にお金をつぎ込めるっていうのは幸せなのだろうか。

とりあえず、もうコンプする系のは当分いいかな・・・。

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